400 jaar meetkundeonderwijs

Verslag WGRWO symposium XXI op 19-9-2015

Dit 21e symposium werd niet in het voorjaar, maar in het najaar van 2015 gehouden. De reden daarvoor was de viering van het 90-jarig bestaan van de NVvW in april 2015. Deze verschuiving heeft goed uitgepakt, het aantal aanmeldingen, 45 in totaal, was meer dan in vele jaren daarvoor. Maar dat had wellicht ook met het onderwerp te maken.

De eerste spreker van de dag was Henk Hietbrink, wiskundeleraar op het Cals College in Nieuwegein, maar ook verbonden aan de Universiteit Utrecht als “leraar in onderzoek”. Zijn onderzoeksgebied is het werk van familie Van Schooten, meetkundigen uit de 17e eeuw, verbonden aan de Leidse Universiteit. Vader Frans van Schooten sr. was werkzaam aan de ”ingenieursschool” die daar sinds 1600 aan verbonden was, zoon Frans van Schooten jr. was dat ook, maar was daarnaast ook gewoon hoogleraar aan de universiteit en bekend van zijn samenwerking met Descartes. Petrus van Schooten, halfbroer van Frans jr., volgde hem weer op. Die ingenieursschool verzorgde een opleiding voor militaire ingenieurs en landmeetkundigen, en praktische meetkunde was een belangrijk onderdeel van die opleiding. Veel van het werk van de Van Schootens, o.a. dictaten, zijn bewaard gebleven. Hietbrink verzorgt een website (zie http://www.fransvanschooten.nl/) over de Van Schootens en ontwerpt praktische opdrachten ontleend aan hun werk voor zijn leerlingen en voor de cursus concrete meetkunde. Na een inleiding over de politieke en militaire situatie rond 1600, met als concreet voorbeeld het beleg van Oostende uit 1604, gaf hij een groot aantal voorbeelden van opgaven uit het werk van vader en zonen, zoals het bepalen van afstanden, berekenen van hoogtes van torens en van het berekenen van de oppervlakte van vierhoekige stukken land. Tot slot werden de aanwezigen nog zelf met wat opdrachten voor leerlingen aan het werk gezet.

De tweede spreker van de ochtend, Harm Jan Smid, besprak een globaler thema: de grote opbloei van het onderwijs in de meetkunde gedurende de 19e eeuw. Meetkundeonderwijs in de 18e eeuw was nog heel beperkt: praktische meetkunde, meestal werkdadige meetkunst genoemd, waarvan de Leidse ingenieursschool uit de eerste lezing een vroeg voorbeeld is, en Euclidische meetkunde, in het Latijn aan der universiteiten gegeven. Dat laatste stelde overigens weinig voor. De opbloei van het meetkundeonderwijs in de 19e eeuw hangt samen met nieuwe opvattingen over onderwijs en opvoeding; het gaat niet alleen meer om voorbereiding op een toekomstig beroep of, voor de elite, op de toekomstige stand, maar om algemene vorming en beschaving. Meetkunde kan daarbij een belangrijke rol spelen, is de gedachte. Vanaf 1826 was meetkunde aan de Latijnse scholen een verplicht vak. Belangrijk was ook de opkomst van de militaire en burgerlijke Akademies, die selecterende toelatingsexamens kenden waarop meetkunde een belangrijke rol speelde. Dat bevorderde het meetkundeonderwijs op de Franse scholen, voorlopers van de HBS en mulo. Docenten aan die Akademies, zoals J.C.J. Kempees, beheersten lange tijd de markt voor meetkundeboekjes. Vlakke meetkunde, stereometrie, goniometrie, beschrijvende meetkunde (alleen HBS) en analytische meetkunde (alleen gymnasium) werden vaste onderdelen van het curriculum op HBS en gymnasium. De vorm die deze vakken in de tweede helft van de 19e eeuw door de boekjes van Jan Versluys kregen zou tot in de jaren vijftig van de 20e eeuw nauwelijks meer veranderen.

Een geval apart was het meetkundeonderwijs op de lagere school. Onder de naam Vormleer was daar vanaf 1857 een vorm van meetkundeonderwijs verplicht, die terugging op de ideeën van Pestalozzi en zijn leerlingen. Het vak evolueerde tot een intuïtieve en aanschouwelijke inleiding op de meetkunde, ook hierbij was het werk van Versluys cruciaal. Het vak vormleer werd in 1889 echter weer even onverwacht afgeschaft als het in 1857 was ingevoerd.
In de lunchpauze verzorgde Rob van der Waall een korte presentatie voor belangstellenden over “Een modern gevolg van Stellingen van Menelaos en B. Pascal, inhoudende Stellingen van B. Pascal, L. Carnot , G. Ceva, Appollonius , J. de Witt , e.a. “, een onderwerp dat goed aansloot bij het thema van deze dag.

Na de lunch sprak Marco Tompitak over twee meetkundeboekjes uit de eerste helft van de 20e eeuw. Dat zijn het Nieuw Leerboek der Vlakke Meetkunde, van W. Reindersma, 1912-1914, en de Beginselen der vlakke meetkunde van J.H. Schogt uit 1929. Het leerboek van Schogt was een poging tot een schoolboek met een zo streng mogelijke axiomatische opzet, “overeenkomstig de hedendaagsche inzichten in de Euclidische meetkunde”. Het boek, dat de uiterste consequentie was van de ideeën van Dijksterhuis en anderen, was echter in de praktijk van de school nauwelijks bruikbaar. Het boek van Reindersma, die zich van onderwijzer op de lagere school tot leraar wis- en natuurkunde had opgewerkt, had een veel meer intuïtieve en aanschouwelijke aanpak, iets wat toen zeer omstreden was. Tompitak plaatste het geheel in een breder kader, dat van de tegenstellingen tussen natuurkundigen (Reindersma’s hoofdrichting was natuurkunde geweest) en wiskundigen, waarbij bijvoorbeeld ook de strijd om de mechanica een belangrijke rol speelde. In het algemeen kan gezegd worden dat de wiskundigen een behoudende rol speelden, de natuurkundigen pleitten meer voor vernieuwing. In het laatste nummer van Studium, (vol 8. nr. 2), het tijdschrift van Gewina, hebben Marco Tompitak en Danny Beckers een artikel over deze tegenstellingen tussen wis- en natuurkundigen gepubliceerd, toegespitst op het onderwijs uit die tijd.

De laatste lezing werd verzorgd door twee sprekers: Agnes Verweij en André van den Berg. Hun onderwerp was de grote omwenteling in het meetkundeonderwijs van 1968, toen gelijk met de Mammoetwet een geheel nieuw leerplan van kracht werd. Agnes Verweij gaf een overzicht van het meetkundeprogramma van voor ’68, met voorbeelden van urentabellen, en deed hetzelfde met het programma van na ’68. Ze besprak de achtergronden van deze wijziging, met veel aandacht voor de New Math en de grote rol die de Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde (CMLW) speelde. André van den Berg trok een vergelijking tussen twee boekjes van voor en na 68: Planimetrie voor MO en VHO van C.J. Alders, een boekje dat hij zelf als leerling had gehad, en de eerste editie van Moderne Wiskunde, van G. Krooshof en vele andere auteurs, waaruit hij als beginnend docent moest lesgegeven. Aan de hand van vele voorbeelden werden de grote verschillen tussen deze methodes aangetoond. Alders kende een min of meer deductieve opbouw met veel aandacht voor bewijzen en constructies, de aanpak van Krooshof c.s. was veel losser en intuïtiever, waarbij “enkele voorbeelden” vaak de rol van bewijzen overnamen. Moderne Wiskunde bevatte aanvankelijk nog heel wat (transformatie)meetkunde, maar de aandacht daarvoor werd al spoedig minder. Het onderwerp kon niet meer gemotiveerd worden vanuit de `vormende waarde`, en speelde nauwelijks een rol in de bovenbouw. Agnes Verweij illustreerde dat laatste aan de hand van een eindexamen stereometrie uit 1965, en een eindexamen Wiskunde II (vectormeetkunde) uit 1975. Voor het eindexamen stereo was een uitgebreide kennis van de onderliggende vlakke meetkunde essentieel, voor Wiskunde II was nagenoeg geen kennis van vlakke meetkunde meer nodig.