15 november 2024 - Rob van Oord Wiskunde bij de les – 28 – De parabool (2) Afgelopen jaar schreef Martin Kindt een aantal artikelen over De parabool op school. Hij probeerde aan te geven dat je vooral ook de parabool vanuit meetkundig oogpunt onder de loep moet nemen. Immers, plaatjes zeggen meer dan formules. In deze blog laat ik zien wat ik in mijn lessen deed. Ik hou het graag concreet en wat is er leuker dan leerlingen zelf aan de slag te gaan met hun eigen foto’s. Ook hou ik van aanschouwelijk onderwijs. Zo kwam ik ooit op het idee van de “oneven trappetjes” om meer punten op een parabool te tekenen. Concreet Laat leerlingen een foto maken van een waterstraal die schuin omhoog wordt gespoten. Dan heb je een parabool. Laat ze de foto op een of andere manier (vergroot) op een vel papier tekenen. Laat ze vervolgens het brandpunt en de richtlijn opsnorren. En tot slot controleren of vanuit de definitie van de parabool met brandpunt en richtlijn je altijd op punten van de parabool terecht komt. Misschien zijn er ook boogbruggen in de omgeving van je school. Laat de klas onderzoeken of die bogen parabolen zijn. Hiernaast zie je een foto met de indrukwekkend hoge paraboolvormige bogen in het voormalige hoofdpostkantoor in Utrecht. Oneven trappetjes Zelf gebruik ik in mijn lessen altijd de truc van de “oneven trappetjes” om meer punten op een parabool te tekenen. Dat gaat zo: Als je naast de top van een parabool nog twee symmetrisch gelegen punten hebt, dan is het eenvoudig om meer punten van de parabool te tekenen. Dit komt omdat de toename van \( x^2 \) vanaf \(1^2 \) achtereenvolgens \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) enzovoorts is. Eerst eens kijken bij de standaardparabool \(y=x^2\), de grafiek van kwadraten. Zie de figuur. Neem je als \(x\)-coördinaten \(x=k \cdot \frac{1}{2}\), dan zijn de toenames \(1 \cdot (\frac{1}{2})^2\), \(3 \cdot (\frac{1}{2})^2\), \(5 \cdot (\frac{1}{2})^2\), enzovoorts. Zie onderstaande figuur. Links zie je vierkantjes van \(1\) bij \(1\), rechts half zo grote met oppervlakte \(\frac{1}{4}\). \(1\) \(1^2\) \(+3\) \(2^2\) \(+5\) \(3^2\) \(+7\) \(4^2\) \(\frac{1}{4}\) \((\frac{1}{2})^2\) \(+\frac{3}{4}\) \((\frac{2}{2})^2\) \(+\frac{5}{4}\) \((\frac{3}{2})^2\) \(+\frac{7}{4}\) \((\frac{4}{2})^2\) Start met 3 punten, namelijk de top en twee symmetrische punten. Stel de formule \(y=q \cdot x^2 \) op door punt \( (0, 0) \) en door punt \( (a, b) \). Dus \(q = \frac{b}{a^2}\) . Dan komen de oneven trappen op \(x=\frac{1}{2}a\), \(x=a\), \(x = 1 \frac{1}{2} \cdot a\), \(x = 2a\), enz. Kijk maar naar \( y( \frac{1}{2} a) = \frac{b}{a^2} \cdot (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{1}{4}b\) en naar \(y (a) = \frac{1}{4} b + \frac{3}{4} b = b\). Dit klopt met de oneven trap. Evenzo \(y( 1 \frac{1}{2} a) = \frac{b}{a^2} \cdot (\frac{3}{2}a)^2 = \frac{9}{4} b = b + \frac{5}{4} b \). Merk op dat ook dit klopt. Verder met \( y(2a) = 4 \cdot f(a) = 4 \cdot b = \frac{9}{4} b + \frac{7}{4} b \). Ook dit klopt weer, enz.. Zo kun je ook nog meer tussenpunten tekenen bij \(x = \frac{1}{8} a \), \(x = \frac{3}{8} a\), \(x = \frac{5}{8} a \), enz.. De toenamen vanaf de top gezien zijn dan \(+ \frac{1}{16} b \), \(+ \frac{3}{16} b \), \(+ \frac{5}{16} b\), \(+ \frac{7}{16} b\), enz. Dus neem je tussen de top en de gegeven symmetrisch gelegen punten. Op \(x = k \cdot (\frac{1}{2})^n\) zijn de toenamen \(+1 \cdot (\frac{1}{2})^{2n}\), \(+3 \cdot (\frac{1}{2})^{2n}\), \(+5 \cdot (\frac{1}{2})^{2n}\) enz.. Heb je zelf met een klas parabolen getekend? Stuur dan een mail met foto’s naar Rob van Oord Veel plezier met de parabolen. Rob van Oord Volgende blog: Wiskunde bij de les Vorige blog: Wiskunde bij de les – 27 – Parabool (1) Index: Wiskunde bij de les – Index
