Wiskunde bij de les – 25 – Helling en hellingshoek

In een vorige blog schreef ik over hoe je het begrip helling bij trappen kunt onderzoeken. Voordat je naar de helingshoek gaat is het handig om eerst het begrip hoek met de klas te oefenen. Daarbij hoort ook het tekenen en meten van een hoek in graden met behulp van de geodriehoek. Ik vind dat je een hoek vooral moet zien als een draaiing. Voor leerlingen is dat mooi visueel te maken. Laat een aantal leerlingen voor de klas staan, en om beurten een kwartslag draaien, de een linksom, de ander rechtsom. Dan een halve slag. Nu kun je zeggen dat een hele draai 360 graden is. Hoeveel is dan een kwart slag draaien en hoeveel een halve draai? Laat nu een draai maken van 45°, 60°, 135°, en zo meer. Je kunt ook met de hele klas oefenen in groottes van hoeken door ze die in  allerlei variaties met hun armen te laten maken. Zet nu twee leerlingen met de ruggen tegen elkaar. De een kijkt naar rechts voor de klas en de ander naar links. Dit doe ik om straks bij het tekenen met de geodriehoek dezelfde richtingen te krijgen. Een kwart draai linksom voor de rechter leerling heeft hetzelfde resultaat als een kwart draai rechtsom voor de linker leerling. Zo kun je nog wat meer oefenen met draaien en zoeken naar resultaten die hetzelfde opleveren. Zo geeft 60° linksom van de rechter leerling het zelfde resultaat als 120° rechtsom van de linker leerling. Na deze oefening kunnen leerlingen deze hoeken tekenen op een blanco blaadje vanuit een startpunt (stip) op een horizontaal getekende halve lijn, bijvoorbeeld naar rechts. Ik ben geen voorstander van het tekenen van een hoek door het zetten van een stip. Dit moet altijd in twee stappen. Na de stip moet het losse been nog getekend worden. Een hoek heeft twee benen, waarvan de lengte van de benen er niet toe doet. Met een bordpasser kun je illustreren dat een hoek begint met de benen tegen elkaar. Dat is een hoek van 0°. Van daaruit houd je één been vast en draai je het andere been. Gewoon de geodriehoek vanonder tegen de horizontale halve lijn naar rechts (vaste been) leggen, met het streepje bij de “nul” tegen de getekende stip. En (linksom) draaien maar. In die stand kun je meteen langs de geodriehoek het losse been van de gevraagde hoek tekenen. Je moet rechtsom draaien bij een halve lijn naar links. Een kwartslag rechtsom (van 90°) geeft hier hetzelfde resultaat als een kwartslag linksom bij het eerste geval. Even uitleggen waarom er op de geodriehoek steeds twee getallen staan. Van te voren bedenken of je een scherpe hoek moet tekenen of een stompe hoek, en of je linksom draait of rechtsom.

Geodriehoek linksom draaien (scherpe hoek)	Geodriehoek rechtsom draaien (stompe hoek)	Scherpe hoek meten door draaiing

In het rechter plaatje zie je hoe je de hoek meet als draaiing. Leg de geodriehoek eerst tegen het horizontale been met de \(O\) bij het hoekpunt. Je ziet dat de hoek scherp is. Draai linksom en bedenk het juiste getal bij het streepje op de gedraaide geodriehoek boven het horizontale been.

Trappen

Terug naar de trappen. Onderstaande trappen zijn even steil. De steilheid kun je beter zien als je een plank over de punten van de traptreden legt. De lijn van de plank heeft de helling van de trap. Als je de helling van een lijn wilt bepalen, dan moet je er als het ware traptreden onder tekenen. Als je twee punten op de lijn hebt, dan kun je eenvoudig een traptrede tekenen.

Figuur 2: trappen met even grote helling

De lijn van de plank heeft de helling van de trap. Als je de helling van een lijn wilt bepalen, dan moet je er als het ware traptreden onder tekenen. Als je twee punten op de lijn hebt, dan kun je eenvoudig een traptrede tekenen. Zie onderstaande figuur.

Figuur 3: van lijn naar trap

Meten en berekenen van de optrede en de aantrede

Het breukgetal optrede : aantrede is de helling van de lijn. In dit geval meet je dat de optrede ongeveer \(3,5\) is dat de aantrede ongeveer \(11,6\) is. De helling van de lijn is dan \(3,5 : 11,6 \approx 0,30 \).
En dan komt nu de hellingshoek. Dat is de hoek die je de plank moet draaien vanuit een horizontale stand tot aan de stand over de trap. Bij de lijn uit het voorbeeld is dat ongeveer \(17⁰\). Omgekeerd kun je nu bij een gegeven helling ook de hellingshoek tekenen en meten. Bijvoorbeeld bij een helling van \(16%\) (= \(0,16\)) hoort een trap met optrede \(16\) en aantrede \(100\), maar ook een met optrede \(1,6\) en aantrede \(10\) of optrede \(0,16\) en aantrede \(1\). Teken een handige trap in je schrift en meet de hellingshoek. In dit geval is dat ongeveer \(9⁰\). Weet je nog bij welke hellingen met de plank en de blokken je het zwaar omhoog lopen vond?
Je kunt in een later stadium nog spreken over negatieve hellingen, als de plank naar rechts naar beneden ligt. Dit komt dan overeen met hellingen van eerstegraads functies. Bij het hellingsgetal \(a\) van functies \(y = \)\(a\)\(x+b\) horen trappen met optrede \(a\) en aantrede \(1\). Vaak is het handiger om hellingsgetallen die als breuk gegeven zijn om te zetten naar trappen met gehele getallen voor optrede en aantrede. Bijvoorbeeld \(a=\frac{3}{5}\) naar optrede = 3 en aantrede = 5. Dan kun je mooi roosterpunten gebruiken om de lijn  te tekenen. Eerst een roosterpunt op de lijn zoeken, dat wel. Bijvoorbeeld op de lijn \(y = \frac{3}{5}x + 1\frac{1}{5}\) ligt roosterpunt \((3,3)\), dus ook punt \((8,6)\) en \((-2,0)\). Enzovoorts.

Gonio

In een volgend stadium kun je nog de relatie met gonio aanbrengen. Met het ezelsbruggetje soscastoa komen optrede en aantrede mooi overeen met overstaande resp. aanliggende rechthoekszijde.
Dus hellingsgetal = \(tan(\) hellingshoek \()\) ofwel \(a\) \(= tan(\) \(\alpha\) \()\).

Ik ben benieuwd of je deze wiskunde in de klas doet. Heb je voorbeelden, foto’s of filmpjes  en wil je die met ons delen? Stuur dan een mail met foto’s naar mij robvanoord@tiscali.nl  Veel plezier met je hoekenles.

Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 19 – 5 december nadert snel
Index: Wiskunde bij de les – Index