Meer dan 1000 woorden – 4 – Bewijzen

In het algemeen wordt in bewijzen een vast stramien gehanteerd: gegevens, wat te bewijzen is en tot slot het bewijs. Het bewijs wordt afgesloten met de conclusie waarin staat wat te bewijzen was. Als laatste volgt ‘quod erat demonstrandum’, afgekort tot QED, een Latijnse uitdrukking die ‘wat te bewijzen was’ betekent. Euclides introduceerde deze methode in De Elementen waarbij op basis van enkele aannames steeds meer stellingen bewezen worden, voortbouwend op wat al bekend is. Tegenwoordig wordt ook wel een vierkantje ter afsluiting gebruikt.

Van diverse bewijzen heb ik animaties gemaakt. Zo heb ik de eerste zes boeken van De Elementen in de versie van Byrne uit 1847 vertaald en gedigitaliseerd en zijn op deze pagina enkele tamelijk basale meetkunde-bewijzen verzameld. Op De Elementen kom ik in een volgende blog terug. In de verzamelde animaties zijn de grote punten vaak te verslepen tot figuren die binnen de randvoorwaarden van de stelling blijven. Door de schuifknop ‘stap’ te verslepen wordt stap voor stap het bewijs zichtbaar. In mijn animaties hanteer ik voornoemd stramien niet altijd even strikt. Zo zijn de gegevens niet altijd verwoord als de tekening ze toont. Bij bijvoorbeeld de stelling van Thales zijn de rode hoeken even groot en de blauwe ook, maar dat wordt niet als gegeven genoemd en wel in het bewijs gebruikt (figuur 1).

In animaties gaat het vaak om de vlakke meetkunde. Ook andere stellingen zijn met animaties te bewijzen. Nog binnen de meetkunde, maar dan met ruimtefiguren, is het bewijs van Archimedes over de inhoud van een bol, een kegel en een cilinder interessant voor leerlingen (figuur 2). Verder vind ik dat de afleiding van de afgeleide van \(x^2\) heel sprekend is (figuur 3), net als die van \(x^3\). Ook de afleiding van de productregel bij differentiëren is illustratief.

Of uit de getaltheorie: de som van opeenvolgende oneven getallen, beginnend bij 1, is een kwadraat (figuur 4). Of iets frivoler, op internet zie ik ook regelmatig bewijzen zonder woorden voorbijkomen van oneindige sommen zoals \(\frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + … = …\), of soortgelijke sommen met \(\frac{1}{3}\) of met \(\frac{1}{4}\) als basis. En ook nog een vlakvulling die toont dat het rekenkundig gemiddelde altijd groter dan of gelijk aan het meetkundig gemiddelde is (figuur 5).

Chris Wildhagen heeft meer dan 1000 bewijzen verzameld. Ik ben begonnen die van animaties te voorzien. Onder iedere animatie staan trefwoorden en links naar pdf’s van de stelling en het bewijs. Deze zijn van Chris Wildhagen afkomstig.

Bewijzen helpen leerlingen om inzicht te krijgen in een nieuwe regel die ze kunnen toepassen, zoals bijvoorbeeld de regel voor het optellen van de getallen 1 tot en met n. Deze regel wordt ook wel de somformule van Gauss genoemd. Ze helpen leerlingen ook om relaties te zien tussen verschillende concepten binnen de wiskunde, zoals bijvoorbeeld toepassing van de stelling van Pythagoras om aan te tonen dat \(sin^2x + cos^2x = 1\) (zet de schuifknop var op 4, figuur 6). In een recent onderzoek dat aan de Technische Universiteit Eindhoven werd uitgevoerd noemden studenten ook dat bewijzen tonen dat iets algemeen en voor eeuwig waar is.

Overigens kan één tegenvoorbeeld genoeg zijn om aan te tonen dat iets niet waar is. Ik vraag weleens of 9 gelijk is aan 6 als leerlingen weer een keer \(x^2\) verwarren met \(2x\). En zeker bij het vereenvoudigen van breuken helpt het om een getallenvoorbeeld in te zetten als bijvoorbeeld van \(\frac{2x^2 + 6x}{4x^2 + 3}\) zoiets als \(\frac{x^2 + 2x}{2x^2 + 1}\) wordt gemaakt.

Tegenwoordig wordt in het wiskunde-onderwijs weinig aandacht meer besteed aan bewijzen. Op de Technische Universiteit Eindhoven liepen de docenten aan tegen weerstand van eerstejaarsstudenten. Zij pleiten ervoor om op het vwo hieraan weer meer aandacht te besteden.