20 december 2023 - Rob van Oord Wiskunde bij de les – 21 – Kerstster Sinds 29 november 2021 heeft de Sagrada Familia in Barcelona haar Maria ster. Vanaf 8 december dat jaar was hij verlicht te zien. Zie foto. Toen wij eind september 2021 in Barcelona waren stond hij er nog niet op. Zie foto. Ik heb toen in de kathedraal een foto gemaakt van het stermodel en van een punt. Hierop is duidelijk te zien dat elke punt op een regelmatige vijfhoek geplaatst is. Het is een Keplerster met iets langere punten. Er staat dat de ster 12 punten (het zijn er in feite 11, want op de plek van de punt naar onderen zit hij vast op de 138 meter hoge toren) heeft die elk 2,9 meter meten, met een diameter van 7,5 meter. Uit deze gegevens kun je afleiden dat ze 2,76 keer zo lang zijn als de hoogte van een punt van de Keplerster die bij het 12-vlak hoort waarop de punten zitten. In het tweede deel van deze blog leggen we uit hoe we aan dat getal komen. Hierbij komt de gulden snede om de hoek kijken. Deel 1 met Vouwen Je kunt met je klas een Keplerster maken. Kopieer 12 keer de bouwplaat (met plakrandjes) van de vijfpuntster. Knip de sterren uit en knip elke punt tot halverwege door. Schuif die dan successievelijk in elkaar, en plak daarna de punten met de plakrandjes dicht. Zie foto. Ik kreeg dit idee van Henk Hietbrink. Met een 3e klas maakte hij op deze manier een ster. Bouwplaat vijfpuntster Kepler ster Kerstsfeer Mariaster Sagrada Familia Sagrada Familia Barcelona In de laatste les voor de vakantie ging ik met de lagere klassen vaak sterren vouwen. Ik had voorbeelden in origamiboeken. Samen met hen ging ik er tegenaan. Op internet kun je filmpjes en instructies vinden om een ster te vouwen. Met 5vwo wisB maakte ik altijd een pop-up kaart met kerstsfeer. Dit valt onder origami architectuur. Er moet nauwkeurig gewerkt worden en met scherpe mesjes gesneden. Het resultaat van zo’n pop-up kaart zie je op de foto. waterbombasis Figuur 1 Figuur 2 Schuif de boel in elkaar Er is ook een eenvoudiger manier om een leuke kerstster te maken. Neem twee vierkante vouwblaadjes, bijvoorbeeld een rood, en daarna een groen vierkant vouwblaadje. Vouw in het blaadje het rechte kruis, draai het blaadje om en vouw het diagonale kruis. Uit deze vouwen komt vanzelf de waterbombasis, een piramidevormkruis, tevoorschijn. Vouw beide blaadjes weer open en plat. Vouw in beide blaadjes in het midden een vierkant door de randen van het blaadje naar de lijnen van het rechte kruis te vouwen. Knip vanuit de vier hoekpunten en vanuit de middens van de vier zijden tot aan dit vierkant (zie de rode lijnen in figuur 1). Maak in het midden de waterbombasis, de kruisvormige piramidepunt. Hierbij draaien de trapezia met de grijze driehoeken mee naar het middelpunt van het vierkant. Schuif telkens de rechterflap over de linker. Zie ook de foto. Plak de op elkaar geschoven flappen vast. Het resultaat staat in figuur 2. Bevestig in een van de piramidetoppen een draadje. Hiermee kun je de (dubbele) ster in de kerstboom hangen. Plak daarna de twee delen tegen elkaar. En klaar. Je kunt ook een “kerstbal” kopen die de vorm van een Keplerster heeft. 😊 Zie foto. Veel plezier met de kerst-ster-les. Deel 2 met Algebra Berekening van de factor die de sterpunten langer zijn dan de punten van de bij de dodecaëder horende Keplerster. Bedenk dat 2 punten paarsgewijs tegenover elkaar liggen boven de middelpunten van twee evenwijdige zijvlakken van een dodecaëder. In figuur 3 zijn dit de groene vijfhoeken met middelpunten \(K\) en \(M\) als top van een vijfzijdige piramide, een sterpunt. De diameter van de ster bestaat uit de diameter \(KM\) van de ingeschreven cirkel van een dodecaëder plus twee keer de hoogte van een punt. Op WIKIPEDIA vind ik de formule die de diameter \(2r\) van de ingeschreven bol van een regelmatig 12-vlak uitdrukt in de zijde \(z\), namelijk \(2r = z \sqrt{\frac{25+11 \sqrt{5}}{10}} \approx 2,227 z\) Uit de gegevens dat de punten 2,9 meter hoog zijn en de diameter 7,5 meter is volgt dat de diameter van de ingeschreven bol \(7,5 – 5,8 = 1,7\) meter is. Hieruit volgt dat de zijde \(z\) van de dodecaëder, dus van alle vijfhoeken \(\frac{1,7}{2,227} \approx 0,763 \) meter is. Keplerster kerstbal Figuur 3 Figuur 4 Figuur 5 Figuur 6 De punten van een Keplerster zijn de hoekpunten van een regelmatig 20-vlak, een icosaëder. In figuur 3 zie je sterren rondom een dodecaëder (een regelmatig 12-vlak van regelmatige vijfhoeken). De onderkant en bovenkant van de dodecaëder zijn groen gekleurd. Op die twee vlakken zijn vijfpuntige sterren getekend. Wanneer je op de bovenste rand van vijfhoeken allemaal vijfhoekige sterren plakt, dan komen de punten samen in tophoek \(T\). Zo komt op het topvlak een vijfzijdige piramide. Evenzo komt er een punt \(S\) wanneer je vijfhoekige sterren plakt op de onderste rand van vijfhoeken. Zo komt op het ondervlak een vijfzijdige piramide. In figuur 3 zijn de twee tegenover elkaar liggende punten \(T\) en \(S\) verbonden door de rode lijn. In totaal worden twaalf sterren geplakt, op ieder vlak eentje. Zo ontstaan twaalf piramides. De toppen van de twaalf piramides zijn nu de hoekpunten van het regelmatig 20-vlak. Nu komt de gulden snede \(\phi \approx 1,618 \) op de proppen. Zie figuur 4. De rode groene en blauwe driehoeken zijn alle gelijkvormig hoek-hoek. Ze hebben alle basishoeken van 72° en een tophoek van 36°. Ze hebben de gulden snede als verhouding van langste zijde tot kortste zijde. In figuur 5 geldt: \(AF = FG \cdot \phi\), dus \(b=z \cdot \phi \approx 0,763 \cdot 1,618 \approx 1,2325. \) waarbij \(b\) de opstaande ribbe is van een Keplersterpunt. De hoogte van de piramide is \(TM\). Zie figuur 6. \(\angle AMB = \frac{360°}{5} = 72°\), dus \( \angle AMF = 36°\) en \(AB = z \). In driehoek \(AFM \) geldt \(sin 36° = \frac{AF}{AM}\) , \(AF = \frac{1}{2} z \approx 0,3815\) en \(sin 36° \approx 0,588\), dus \(AM \approx \frac{0,3815}{0,588} \approx 0,649.\) In driehoek \(AMT\) bereken je nu met de stelling van Pythagoras dat \(TM = \sqrt{AT^2-AM^2} \) \(= \sqrt{1,235^2-0,649^2} \approx 1,05 \) meter. Dus de punt van de Maria ster is \(\frac{2,9}{1,05} \approx 2,76 \) keer zo hoog als een Keplersterpunt. Een laatste opmerking nog. Henk heeft met zijn 3D printer de middelste 10 sterpunten van de ster geprint. Het ontwerp staat op zijn website. Je kunt het ontwerp schalen van 15 cm tot 15 mm en dat is een mooi formaat voor oorbellen. Die zal ik als cadeautje voor mijn vrouw onder de kerstboom leggen. Reactie Ik ben benieuwd naar je kerst-ervaringen in de klas . Heb je iets bijzonders gedaan en wil je dat met ons delen? Stuur dan een mail met foto’s naar mij robvanoord@tiscali.nl Rob van Oord Volgende blog: Wiskunde bij de les – 22 – Kruisgewelf en sinus Vorige blog: Wiskunde bij de les – 20 – Rol de dobbelsteen Index: Wiskunde bij de les – Index 3D print oorbellen
