Wiskunde bij de les – 17 – Betekenisvolle algebra (4)

In deze blog schrijf ik over een aantal probleempjes met tweedegraadsformules. Even terug naar de vorige blog (16). Daar staat een formule \(u(n)=\frac{1}{2}n(n+1)\) voor het \(n^{de}\) driehoeksgetal uit de rij 1, 3, 6, enzovoorts. Als je met tennisballen een stapel maakt van opeenvolgende aantallen ballen uit de rij van driehoeksgetallen in de vorm van een driezijdige piramide, dan is er een mooie formule voor het totaal aantal ballen \(D\) in een stapel van \(n\) lagen: \(D(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n\). Ik schrijf erover in mijn boek “Wiskunde bij de les” in paragraaf 37 op bladzijde 91 en 92. Ook deze formule kun je met volledige inductie mooi bewijzen. Voor \(n=1\), \(n=2\) en \(n=3\), krijg je achtereenvolgens \(D(1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1\), \(D(2)=\frac{8}{6}+\frac{4}{2}+\frac{2}{3}=4\) en \(D(3)=\frac{27}{6}+\frac{9}{2}+\frac{3}{3}=10.\) Dus het begin klopt met de stapel tennisballen, want: \(D(1)=1\), \(D(2)=1+3=4\) en \(D(3)=1+3+6=10\). Bij de stapel van \(n\) lagen komt dan het \((n+1)^{ste}\) driehoeksgetal \(u(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\) erbij.

Je moet dan aantonen dat \(D(n)+u(n+1)=D(n+1)\). Een mooi stukje algebra laat dit zien.

Aan de ene kant is \(D(n)+u(n+1)=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n +\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\)  \(=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n +\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+1\) \(=\frac{1}{6}n^3+n^2+\frac{11}{6}n+1\).

Aan de andere kant is \(D(n+1)=\frac{1}{6}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{3}(n+1)\) \(=\frac{1}{6}(n^3+3n^2+3n+1)+\frac{1}{2}(n^2+2n+1)+\frac{1}{3}(n+1)\) \(=\frac{1}{6}n^3+(\frac{3}{6}+\frac{1}{2})(n)^2+(\frac{3}{6}+\frac{2}{2}+\frac{1}{3})n+(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\)\(=\frac{1}{6}n^3+n^2+\frac{11}{6}n+1\). Dus volgens de volledige inductie klopt de formule. In mijn boek leid ik de formule op een andere manier af.

Voor het totaal aantal diagonalen \(D(n)\) van een (convexe) \(n\)-hoek is er de formule \(D(n)=\frac{n(n-3)}{2}.\) Van ieder van de \(n\) hoekpunten kun je \(n-3\) diagonalen trekken, want niet naar zichzelf en niet naar de directe buren.  Vandaar \(n(n-3).\) Omdat je op deze manier iedere diagonaal dubbel telt, moet je delen door twee. Zo ontstaat de formule \(D(n)=\frac{n(n-3)}{2}.\) Je kunt de klas laten uitzoeken of er een veelhoek bestaat met 35, met 135, of met 235 diagonalen. Bij een van de genoemde getallen is een schrijffout. Welke? Hier kun je proefondervindelijk te werk gaan, maar dat duurt dan even. Leuker is om de tweedegraadsvergelijking \(\frac{n(n-3)}{2}=235\) op te lossen. Daarna even checken of het inderdaad om een 10-hoek, 18-hoek of 23-hoek (met 230 diagonalen) gaat.

Er zijn ook talloze verhaalsommen over maximale oppervlakte grasland bij een hek met een gegeven lengte. Zo van:

Een boer heeft een stuk gaas op een rol van 100 m. Hij wil langs de slootkant een stuk gras afzetten voor zijn geit. Hoe moet hij het hek neerzetten zodat dit stuk gras maximaal is? Maar of probleem dit nu zo realistisch is? Ik ben er niet zo kapot van.

Vragen over de hoogte van afgeschoten projectielen zijn wel realistischer. Maar bij sommige leerlingen kan dit een naar gevoel opwekken. Dus voorzichtig met de vraagstelling. Wel een mooie link met natuurkunde.

Er zijn ook vragen die uit een wiskundige context opkomen. De mooiste vind ik die tot de gulden snede leidt. Welke verhouding is er tussen de  diagonalen (\(x\)) en zijden (\(1\)) van een regelmatige vijfhoek? Door gelijkvormigheid van de rode en de groene driehoek geldt: \(\frac{1}{x}=\frac{x-1}{1}\). Dit leidt via \(x^2-x=1\) en via \(x^2-x-1=0\) tot \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,618\)

Een mooie variant is de vraag over de verhouding van de zijden van een (pin)pas. Vrijwel alle (pin)passen hebben dezelfde afmetingen. Hun lengte is ongeveer 86 mm en hun breedte is ongeveer 54 mm. Als je een tweede pinpas rechtop achter een pinpas in de breedte legt, en je legt een geodriehoek door de hoekpunten aan de eindpunten die het verst tegenover elkaar liggen, dan zie je dat nog een derde hoekpunt precies op de lijn door die eindpunten ligt. Er ontstaan twee gelijkvormige driehoeken. Stel de kleine zijde van de pas op lengte \(1\) en de langste zijde \(x\). De afmetingen van de grote rechthoek zijn dan korte zijde \(x\) en langste zijde \(x+1\). Vanwege de gelijkvormigheid geldt \(\frac{1}{x}=\frac{x}{x+1}\). Dit leidt van \(x^2=1+x\)  via \(x^2-x-1=0\) tot \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618\). En dat is precies de uitkomst van lengte gedeeld door breedte: \(\frac{86}{54} \approx 1,618\).

Heb je soortgelijke voorbeelden en wil je die met ons delen? Stuur dan een mail met foto’s naar mij robvanoord@tiscali.nl

Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 18 – Betekenisvolle algebra (5)
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 16 – Betekenisvolle algebra (3)
Index: Wiskunde bij de les – Index