Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Casio (deel 2)

Rob van Oord beschreef in zijn blog 14 enkele reeksen voor de benadering van het getal \(pi\). In deze blog demonstreren we hoe je dat op de Casio kan doen voor de reeks van Leibniz, de reeks van Wallis en de reeks van Newton. Ook hier zijn er meerdere wegen (die naar Rome leiden).

1  Reeks van Leibniz (of van James Gregory)

\(\pi=4\cdot (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} + \cdots ) \)

Voor de termen tussen de haakjes geldt \( a(n)=(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{2n-1} \) met \(n \ge 1\). Deze termen moeten worden gesommeerd, waarna deze som met 4 moet worden vermenigvuldigd. Dat kan op twee manieren:

• \( 4 \cdot \sum_{x=1}^{getal} ((-1)^{x-1} \cdot \frac{1}{2x+1}) \)
  Voor (het) getal neem je het aantal termen dat je wilt sommeren.
  .
• \( 4 \cdot Sum( Seq( (-1)^{x-1} \cdot \frac{1}{2x+1} ,x,1,getal,1)) \)
  Hiervoor geldt dat de \(x\) de index is, 1 het indexnummer van de eerste term, getal het indexnummer van de laatste term en de laatste 1  de stapgrootte. Vanzelfsprekend is getal een natuurlijk getal. Beperking van de Casio is dat het maximum 999 is.

De sommatie krijg je door, in menu 1, OPTN-CALC \( \sum( \)  te toetsen. Vervolgens vul je achtereenvolgens de vier velden in en gebruik je de knop \( S \leftrightarrow D \) om de breuk om te zetten in een decimaal getal. De commandos \(Sum\) en \(Seq\) staan in de catalogus en zijn ook te vinden via OPTN-List.

Met de sommatie van de eerste vijf termen zijn we nog lang niet bij de fel begeerde \(3,14159\).

2 Reeks van Wallis

\(\pi=2 \times \frac{2 \times 2}{1 \times 3} \times \frac{4 \times 4}{3 \times 5} \times \frac{6 \times 6}{5 \times 7} \times \frac{8 \times 8}{7 \times 9} \times \cdots \)

Afgezien van de eerste factor, is elke factor te schrijven als \( \frac{(2 n) \cdot (2 n)}{(2n-1) \cdot (2n+1)} \) met \(n \ge 1\). Alle factoren moeten met elkaar worden vermenigvuldigd. Feitelijk hebben we eenzelfde situatie als zojuist. We typen dus \( 2 \cdot  Prod( Seq( \frac{(2 n) \cdot (2 n)}{(2n-1) \cdot (2n+1)} , x ,1, getal, 1 )\), waarbij de \(x\) de index is, 1 het indexnummer van de eerste term, getal het indexnummer van de laatste term en 1  de stapgrootte. Vanzelfsprekend is getal een natuurlijk getal. Beperking van de Casio is dat het maximum 999 is.

3 Reeks van Newton

\( \pi = 6 \cdot( \frac{1}{2} +
\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2^3} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{2^5} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{2^7} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{2^9} +
\cdots ) \)

Voor de reeks in het rechterlid geldt dat er sprake is van een recursieve rij. Deze wordt ingevoerd in het recursie-menu (8).

Als we de somrij aanzetten (met SET UP) en we maken een tabel, dan krijgen we

Vanaf \(a_{13}\) komen we afgerond precies op \(\frac{\pi}{6} \) uit.

Meer informatie over reeksontwikkelingen van \(\pi\) staat op het werkblad van Rob van Oord en is onderdeel van zijn boek Wiskunde bij de les uitgegeven door Epsilon.

Blog 2023: Wiskunde bij de les – 14 – Hoe benader je pi?
Blog 2022: Wiskunde bij de les – 7 – Hoe vier jij pi-dag?
Index: Wiskunde bij de les – Index

Voor CASIO,
Simon Biesheuvel, Weesp
Wouter Vonk, Empe