Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Numworks

Rob van Oord schreef in zijn blog over benaderingen van \(\pi\) met de grafische rekenmachine. Hieronder staat hoe je die benaderingen uit kunt rekenen op de Numworks. We zullen je stap voor stap meenemen hoe je dit kunt doen.

Het werkblad met de oorspronkelijke tekst van Rob van Oord komt uit zijn boek Wiskunde bij de les, een uitgave van Epsilon.

Reeks van Leibniz (of van James Gregory)

\(\pi=4\cdot (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} + \cdots ) \)

Als eerste moeten we de reeks gaan toevoegen in de Rijen applicatie. Het gaat hier om de reeks \( u(n)=(-1)^{n-1}\times \frac{1}{2n-1}\). Dit is een directe formule dus we kiezen voor het toevoegen van dit type rij.

Nu wij de rij u(n) hebben gedefinieerd kunnen we deze oproepen in andere applicaties van de NumWorks. Om de iteraties van verschillende lengte te simuleren gaan we naar de Rekenen applicatie. We kunnen een iteratie simuleren door de rekenmachine te vragen om bijvoorbeeld de eerste vijf termen van de reeks in een lijst in te vullen. Dit doen we met de volgende optie uit de Toolbox.

Om de reeks van Leibniz nu te simuleren moeten we de iteraties bij elkaar op te tellen en vervolgens te vermenigvuldigen met vier. We zoeken daarom de bewerkingsoptie voor het optellen van waarden uit lijsten op in de Toolbox. Vervolgens zetten we de opdracht voor 5 iteraties tussen de haakjes. Uiteindelijk komt het er dan als volgt uit te zien.

Het is ook mogelijk om het sommatie-teken voor deze opdracht te gebruiken. Deze vinden we in de Toolbox in de sectie Differentiaalrekening.

Reeks van Wallis

\(\pi=2 \times \frac{2 \times 2}{1 \times 3} \times \frac{4 \times 4}{3 \times 5} \times \frac{6 \times 6}{5 \times 7} \times \frac{8 \times 8}{7 \times 9} \times \cdots \)

Als eerst moeten we wederom eerst de reeks toevoegen aan de rijen applicatie. Het gaat hier om de reeks \(u(n)=\frac{(2n)*(2n)}{(2n-1)*(2n+1)}\). Dit is de formule die we invullen, op de rekenmachine wordt het onder elkaar gezet en zijn de buitenste haakjes niet van toepassing.

Aangezien u(n) nu gedefinieerd is kunnen we weer overschakelen naar de Rekenen applicatie. Als we nu bijvoorbeeld de eerste elf termen van de reeks willen simuleren gebruiken we weer de onderstaande optie in onze toolbox.

Als we de reeks van Wallis willen simuleren moeten de iteraties vermenigvuldigen en vervolgens nog een keer vermenigvuldigen met twee. We zoeken daarom de prod(L) bewerkingsoptie op uit de Lijsten sectie van de Toolbox. Als we de formule voor 11 iteraties dan volledig hebben genoteerd komt het er hetzelfde uit te zien als in de weergave hieronder.

Het is ook mogelijk om het product-teken voor deze opdracht te gebruiken. Deze vinden we in de Toolbox in de sectie Differentiaalrekening.

Reeks van Newton

\( \pi = 6 \cdot( \frac{1}{2} +
\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2^3} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{2^5} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{2^7} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{2^9} +
\cdots ) \)

Het is ook hier weer nodig om eerst de reeks toe te voegen in de rijen applicatie. De reeks in kwestie is:\( u(n+1) = u(n) \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n+1} \cdot \frac{1}{2^2} \) . Het noteren van deze formule is net wat anders dan het invoeren van de vorige reeks. Zorg ervoor dat je het type ‘Recursief eerste orde’ kiest. Aangezien de notatie van rijen net wat anders is op de NumWorks moeten we ook goed opletten dat de eerste termindex wordt gezet op \(1\) in plaats van \(0\). We geven \(u(1)\) dus de waarde van  ½.

Als je deze stappen hebt gevolgd komt je formule er als volgt uit te zien.

U(n) is gedefinieerd en kan nu weer gesimuleerd worden in de Rekenen applicatie. Door weer de onderstaande optie in onze Toolbox te gebruiken hebben wij bijvoorbeeld de eerste vijf termen gesimuleerd.

Om de reeks van Newton te simuleren moeten we de iteraties bij elkaar optellen en vermenigvuldigen met 6. We zoeken daarom de bewerkingsoptie sum() op in de Lijsten van onze Toolbox.

Het is ook mogelijk om het sommatie-teken voor deze opdracht te gebruiken. Deze vinden we in de Toolbox in de sectie Differentiaalrekening.

Veel plezier met (pi),
Martijn Oost

Volgende blog: Wiskunde bij de les
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 13 – Betekenisvolle algebra
Index: Wiskunde bij de les – Index