Wiskunde bij de les – 14 – Hoe benader je pi?

Ongeveer een jaar geleden stond in blog – 7 – Hoe vier jij pi-dag een zeer snelle benadering van \(\pi\) met de recursie van Brent-Salamin. Deze recursie kun je met de klas doen met de grafische rekenmachine. Het is leuk om samen \(\pi\) te gaan benaderen. Uiteraard met een \(\pi\) -taart als toetje. Hieronder staan wat mogelijkheden op verschillende niveaus. Onder aan de blog staan links naar aanvullende blogs met aanwijzingen voor het gebruik van de een grafische rekenmachine.

Omtrek en diameter van ronde voorwerpen (klas 1,2) Meet de omtrek \(M\) en de diameter \(d\) van een aantal ronde voorwerpen. Bereken voor elk voorwerp het quotiënt \(\frac{M}{d}\). Het gemiddeld van al deze getallen is een benadering van \(\pi\) .
Methode van Archimedes (klas 3,4) Neem de lengte van de omtrek van een ingeschreven \(N\) en de bijbehorende omgeschreven \(M\) veelhoeken van een cirkel. Bereken de gemiddelde omtrek \(G=\frac{N+M}{2}\) van ieder tweetal. Deel die gemiddelde omtrek \(G\) door de diameter \(d\) van de cirkel. Hoe groter het aantal hoekpunten, des te beter benadert deze breuk \(pi\).
Methode van de Naalden van Buffon (klas 1-5) Neem een doosje lucifers of snackprikkertjes ven gelijke lengte. Teken een aantal parallelle lijnen met tussenafstand gelijk aan de lengte van een lucifer/prikkertje. Gooi de lucifers/prikkertjes uit het doosje over dit lijnenpatroon. Tel het aantal lucifers/prikkertjes \(N\) en het aantal daarvan dat een van de lijnen kruist \(m\). Het quotiënt \(\frac{2N}{m}\) is dan een benadering van \(pi\). Voor diepgang kun je nog wat theorie erbij strooien. Dit is op internet te vinden.
Zebra 6 Interessante formules voor het benaderen van \(\pi\) kun je vinden in het zesde zebraboekje Pi, geschreven door Frits Beukers en het boek Het Fascinerende Getal \(\pi\) geschreven door Jean-Paul Delahaye. Verderop in deze blog volgen een aantal mogelijkheden waarmee je de klas (5,6) (in tweetallen) aan het werk kunt zetten om \(pi\) te benaderen. Er wordt aangegeven hoe je de formules met de grafische rekenmachine kunt invoeren en gebruiken.
Wat kun je nog meer doen? Laat de leerlingen een (ronde) pie \(\pi\)-taart) bakken. Laat een groepje 1000 decimalen van \(\pi\) uitprinten en deze met stoepkrijt vanaf de voordeur van de school op het schoolplein of de straat schrijven. Doe een wedstrijd wie de meeste decimalen van \(\pi\) uit zijn hoofd kent. Zorg voor een doos met veel kubusblokjes. Laat deze per decimaal stapelen langs een plint in de gang. Ga je zelf ook iets leuks met je klas doen? Deel dan een reactie met een foto en een korte omschrijving op Facebook/LeraarWiskunde.
Benaderingen Verschillende benaderingen van \(\pi\) komen nu aan bod. Centraal staan de vragen hoe je \(\pi\) kunt benaderen en hoe snel dat gaat. Als werkblad staat onderstaande tekst bij mijn boek Wiskunde bij de les op de website van Epsilon onder het balkje Bijlagen (bijlage bij hoofdstuk 15). Dat balkje staat verstopt onder aan de webpagina. Hieronder staat hoe je die benaderingen doet op de TI. Binnenkort verschijnt een update hoe het op andere machines kan. Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Numworks

1 Expirimenteel

Verzamel 20 ronde voorwerpen, neem niet alleen kleine maar vooral ook grote. Maak een tabel van omtrek tegen diameter van 20 ronde voorwerpen. Gebruik een metermeetlint van de bouwmarkt.
Bereken per voorwerp \(\frac{omtrek}{diameter}\) in drie decimalen.
Bereken het gemiddelde van deze exPIrimentele waarden.
Schrijf de tabel met de 20 voorwerpen, met de daarbij gevonden waarden van omtrek, diameter en \(\frac{omtrek}{diameter}\) op een A3 vel.
Geef een benadering van \(\pi\) met de gemiddelde waarde van al je uitkomsten.
Laat de twee hoogste en de twee laagste uitkomsten weg. Waarom is dit een goed idee?
Vertel erbij tot hoeveel decimalen nauwkeurig nu \(\pi\) benaderd is.

2  Reeks van Leibniz (of van James Gregory)

\(\pi=4\cdot (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11} + \cdots ) \)

Op de TI gebruik je MODE SEQ. Neem in het Y= scherm de directe betrekking \( u(n)=(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{2n-1} \) met \(nMIN=1\). Bereken \(\pi \) in het hoofdscherm met \( 4 \cdot sum( seq( u(n),n,1,getal,1)) \) voor verschillende waarden van \(getal\) : 5, 10, 50, 100, 150,  200. Hoe groter het aantal iteratiestappen \(getal\), hoe langer het duurt. De commando’s kun je op de TI vinden onder de knoppen LIST MATH 5: \(sum(\)   en LIST OPS 5: \(seq(\). De grafische rekenmachine is traag, maar de convergentie is nog trager. Na tien stappen is de benadering  3,0418; na 100 stappen 3,131592904 en na 101 stappen 3,151493401. Maak op een A3-vel een tabel met de waarden van het aantal iteraties \(getal\), de erbij berekende benadering van pi en het aantal decimalen dat juist is. Stel vast dat de convergentie inderdaad traag is.

Meer informatie staat op het werkblad.

3 Reeks van Wallis

\(\pi=2 \times \frac{2 \times 2}{1 \times 3} \times \frac{4 \times 4}{3 \times 5} \times \frac{6 \times 6}{5 \times 7} \times \frac{8 \times 8}{7 \times 9} \times \cdots \)

Het eerste blokje noem ik \( \frac{2 \times 2}{1 \times 3} \). Op de TI gebruik je MODE SEQ. Neem in het Y= scherm de directe betrekking \( u(n)=\frac{(2 n) \cdot (2 n)}{(2n-1) \cdot (2n+1)} \) met \(nMIN=1\). Bereken nu de benadering van pi op deze manier tot het 11^e blokje in het hoofdscherm met \(2 \cdot prod( seq( u(n),n,1,11,1)) \). Schrijf op een A3 vel de bijbehorende benadering van pi vanaf het eerste tot het laatste blokje. Na het tiende blokje is de benadering 3,0677; na het elfde blokje 3,074; Hoeveel decimalen zijn al goed? Bereken nog een paar benaderingen en stel vast dat ook deze formule traag convergeert.

Meer informatie staat op het werkblad.

4 Reeks van Newton

\( \pi = 6 \cdot( \frac{1}{2} +
\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2^3} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{2^5} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{2^7} +
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{2^9} +
\cdots ) \)

Neem in het Y= scherm de recurrente betrekking \( u(n) = u(n-1) \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n+1} \cdot \frac{1}{2^2} \) met \( nMIN=0 \) en \(u(nMIN)=\frac{1}{2} \). Berekening nu in het hoofdscherm de benadering met \(6 \cdot sum( seq( u(n),n,0,11,1)) \). Maak op een A3-vel een tabel met de waarden van \(n\), de erbij berekende benadering van \(\pi\) en het aantal decimalen dat juist is.

Meer informatie staat op het werkblad.

Veel plezier met \(\pi\),
Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 15 – Betekenisvolle algebra (2)
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 13 – Betekenisvolle algebra
Pythagoras : Wiskunde bij de les – 14 – Nog meer PI
Casio: Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Casio (deel 2)
Casio: Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Casio met Brent-Salamin
Numworks: Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Numworks
PI Blog 2022: Wiskunde bij de les – 7 – Hoe vier jij pi-dag?

Index: Wiskunde bij de les – Index

Vervolg Wil je met me delen wat jouw favoriete benadering van \(\pi\) is of hoe jij een benadering doet op jouw grafische rekenmachine? Ik hoor het graag. Schrijf je zelf een blog daarover? Of zal ik het meenemen? Stuur dan een mail naar mij robvanoord@tiscali.nl