Wiskunde bij de les – 7 – Hoe vier jij pi-dag?

14 maart komt er aan. In de notatie mm-dd krijg je 03-14. Dit is de reden om die dag een feestje te vieren met de klas. Ik spreek af wie er een mooie taart (pie) wil bakken. Zo kun je ook inwendig genieten van pi. In de wiskundE-brief 905 worden ook een aantal feestelijkheden rondom pi (in Haarlem en Brussel) genoemd.

Op de foto zie je hoe Ik zelf het feest van pi al aan het voorbereiden ben. Voor verschillende jaarlagen en niveaus heb ik materiaal verzameld. Ga je zelf ook iets leuks met je klas doen? Deel dan een reactie met een foto en een korte omschrijving op Facebook/LeraarWiskunde. In een volgende blog komen we er op terug.

Met stoepkrijt of grote krijten laat ik een groepje vanaf de voordeur van de school tot aan het hek veel (1000) decimalen van pi opschrijven. Moeten ze wel eerst ergens die decimalen van internet halen. Een ander groepje gaat met houten blokjes (besteld op internet bij Baker Ross) langs de plint in de gang pi neerzetten. Elk stapeltje heeft de hoogte van de zoveelste decimaal van pi. Ik laat dan een foto maken van het eindresultaat (voor de website van school).

Ik laat leerlingen een centimetermaat meenemen van huis. Daarmee kunnen ze diameter en omtrek meten (in mm) van (20) verschillende ronde voorwerpen.

Ik heb doosjes met snackprikkertjes (en lucifers). De prikkertjes moeten worden geworpen op een patroon van op gelijke aftand getekende evenwijdig lijnen. Met de stelling van Buffon kun je door tellen een benadering van \(\pi\) vinden. Gooi in totaal \(N\) prikkertjes. Tel het aantal prikkertjes \(P\) dat op een van de lijnen gevallen is. Als de afstand tussen de lijnen even groot is als de lengte van een prikkertje, dan is de deling van \(N\), het totaal aantal gegooide prikkertjes, door \(P\), het aantal dat op een lijn gevallen is, gelijk aan \(\frac12 \pi\). Dus \(\pi=\frac{2N}{P}\).

Op de foto liggen 31 van 52 prikkertjes over een van de parallelle lijnen. De benadering van \(\pi\) is hier \(\frac{2 \cdot 51}{31} \approx 3,35\). Dat kan beter. Hoe meer prikkertjes je gooit, des te beter kan de benadering van pi worden, maar het experiment is wel een steekproef met een ongewisse uitkomst.

In 6v wisA kun je met recursie ook mooie benaderingen van pi laten berekenen. Bijvoorbeeld met de recursie van Gauss-Legendre, ook wel het algoritme van Brent-Salamin genoemd. Extra informatie staat in de blog Wiskunde bij de les – 14 – Zo benader je pi op de Casio met Brent-Salamin:

\(nMin=0\)
\(u(n)=u(n-1) \cdot v(n-1)-2\)
\(u(nMin)=\sqrt{2}\)
\(v(n)=\frac{( v(n-1)+\sqrt{v(n-1)^2-4} )^2}{2}\)
\(v(nMin)=\sqrt{8}\)
\(w(n)=\frac{ (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot v(n-1)}{u(n-1)}\)

Dit is een zeer snelle benadering van veel decimalen van pi. Voor 6v wisB kun je in zebraboekje 6 Pi (Frits Beukers) ook leuke benaderingen van pi vinden.

Op 17 augustus 2021 is het voorlopig grootste aantal decimalen van \(\pi\) bekend geworden. Men gebruikte de formule:

\( \frac{1}{\pi}= 12 \sum_{q=0}^{\infty}   \frac{(-1)^q \cdot (6q)! \cdot (545140134 \cdot q + 13591409) }  { (3q)! \cdot (q!)^3 \cdot (640320)^{3q+3/2 } } \)

Dit leverde 62,8 biljoen decimalen van pi op. Hiervoor moest de computer 108 dagen en 9 uur rekenen.

Archimedes kon al een goede benadering vinden van pi door de cirkelomtrek, (met straal 1) te benaderen met ingeschreven regelmatige veelhoeken die de hoekpunten op de cirkel hebben en veelhoeken die aan de buitenkant aan de cirkel raken. Hij begon met een regelmatige zeshoek, daarna verdubbelde hij steeds het aantal zijden. Hij vond bij een regelmatige 96-hoek, dat pi tussen 232/71 en 22/7 zit.

\(a_0 = 3 \)
\(b_0 = 2 \sqrt{3} \)
\(b_n = \frac{2 a_{n-1} b_{n-1}}{ a_{n-1}+ b_{n-1}} \)
\(a_n = \sqrt{ a_{n-1} \cdot b_n } \)

Hieronder wordt de decimale ontwikkeling na 1000 decimalen afgekapt. Dat zijn er heel wat meer dan de grafische rekenmachine kan produceren.