Wiskunde bij de les – 4 – Hoekensom

In mijn gastles op de HvA begon ik met het praktisch aantonen van de stelling van de hoekensom in een driehoek.
Het viel op dat van de studenten er maar eentje was die dit in de klas gedaan had.

Ik laat van een half A4’tje een scherphoekige driehoek knippen door twee lijnen vanuit de hoekpunten links en rechts op de onderkant naar een willekeurig punt op de bovenkant te tekenen of te vouwen.

Ik vroeg de studenten hoe ze nu de hoekensom zouden aantonen. Iemand zei dat je dan de hoekpunten zou kunnen afknippen. Maar omdat je dan allemaal driehoekjes krijgt en je daardoor in de war kunt raken welk puntje nu een hoek van de driehoek is, liet ik ze alle drie de hoekpunten van de driehoek afscheuren. Zie figuur.

Oeps, scheuren kan dat wel bij wiskunde?
Leg de hoeken met de punt bij elkaar en zie, ze vormen samen een gestrekte hoek, dus zijn ze samen 180°. Maar is dit een bewijs? Om het bewijs meer kracht bij te zetten bracht ik de Z-hoeken ten tonele. Dat Z-hoeken (bij twee evenwijdige lijnen) even groot zijn kun je mooi laten zien door draaisymmetrie t.o.v. het midden van de schuine lijn van de Z. Zet daar een stip en prik met de passerpunt in het blaadje. Na een halve slag draaien zitten de Z-hoeken precies op elkaar.
[Zo zijn ook overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen even groot. Dit kun je gebruiken om te bewijzen dat F-hoeken gelijk zijn. Verleng de middenstreep van de F naar de andere kant. De verstaande hoek van de middelste F-hoek vormt nu Z-hoeken met de andere F-hoek.]

Terug naar de driehoek. Teken deze in het schrift. Teken door een hoekpunt b.v. de top, een lijn evenwijdig met de er tegenoverliggende zijde. [Op ruitjes papier gaat dat gemakkelijk als de basis op een roosterlijn getekend is.] Met twee Z-hoeken bij de tophoek van de driehoek kun je nu overtuigend bewijzen dat de hoekensom 180° is. Zie figuur.

Een mooie toepassing van de hoekensom vind ik bij de hoogtelijn in een rechthoekige driehoek. Ik noem dat nulletje – kruisje.

De scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek geef ik aan met o en x. Omdat de rechte hoek 90° is, zijn o en x samen ook 90°.

Als je dan een hoogtelijn tekent in de gegeven rechthoekige driehoek, dan zie je meteen dat de oorspronkelijke rechte hoek wordt verdeeld in o en x (o + x = 90°).
Gevolg hiervan is dat er drie gelijkvormige driehoeken te herkennen zijn. Daarmee kun je dan weer handig berekenen uitvoeren in zo’n figuur.

Een voorbeeld.
Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC  met hoek ACB = 90° en AC = 10.
D ligt op AB met AD = 6 en CD = 8.
Bereken a (= BC) en q (= BD).

Allereerst constateren we dat in driehoek ADC de stelling van Pythagoras geldt. Dus CD ⊥ AB.
Nulletje – kruisje kan worden toegepast.
Uit gelijkvormigheid van \( \Delta ADC \) en \(  \Delta CDB \) volgt \( q : CD = CD : AD \). Dus \( q = \frac{64}{6}\) .
Uit gelijkvormigheid van \( \Delta ABC \) en \( \Delta CBD \) volgt \( a : CD = AB : AC \). Dus \( a = \frac{80}{6} \) .
Je had ook de stelling van Pythagoras nog een keer kunnen gebruiken.
Even checken:

\[10^2 + \left( \frac{80}{6} \right)^2 = \frac{3600+6400}{36} = \left( \frac{100}{6} \right)^2\]

en dat klopt met \( AB = 6 + \frac{64}{6} = \frac{100}{6} \) .

Heb je zelf een mooie ervaring met het bewijzen van de hoekensom?
Ik lees het graag.

Vorige blog: Wiskunde bij de les – 3 – Doe eens een Pietenexamen
Volgende blog: Wiskunde bij de les – 5 – Vierkant en cirkel
Index: Alle Wiskunde bij de les