Wiskunde bij de les 1 – Zebra’s

In een oproep van het bestuur van de NVvW werden leden van de werkgroepen opgeroepen om een podcast vlog of blog te gaan maken die op de vernieuwde website komen te staan.
Vrienden van mij woonden onlangs een lezing bij van Professor Erik Scherder. Daarin legde hij uit dat het blijven zoeken naar nieuwe uitdagingen de executieve functies van je hersenen bevordert. Kortom, het leek me een goede aanleiding om een blog te gaan schrijven over wat me zoal bezig houdt, en wat ik met collega’s graag wil delen. Dit is dan de eerste van een aantal blogs die ik in gedachten heb.

Op de studiedag hebben Peter Kop en ik de deelnemers van onze workshop de diversiteit van de zebrareeks laten zien. We deden dat aan de hand van vier boekjes.

Zebra 1 gaat over statistiek bij kattenaids. Je kunt dit boekje mooi inzetten om het onderdeel hypothesetoetsen te verdiepen en uit te breiden. Hoe kun je met een onderzoek vaststellen of twee populatiefracties significant verschillen? Omdat bij het verschijnen van dit boekje de Grafische Rekenmachine (GR) nog niet werd gebruikt in de les, wordt in dit boekje met een tabel met z-waarden gewerkt, de gestandaardiseerde normale verdeling, dus met µ = 0 en \( \sigma \) = 1. Voor een goed begrip van het gebruik van de normale verdeling is dit een mooie uitbreiding van de stof.

Zebra 4 gaat over de Gulden Snede. Deze verhouding vind je terug in literatuur over architectuur. Naast de constructie met passer en liniaal van het gulden snede getal \( \phi = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \sqrt{5} \)  (als oplossing van de vergelijking \( \phi^2 = \phi +1 \) ) zie je het getal tevoorschijn komen als de verhouding van diagonaal en zijde van een regelmatige vijfhoek (pentagon).

Ik schreef in Euclides (96-6) al een artikel over de gulden snede en de regelmatige vijfhoek. Hoe construeer je bij een gegeven zijde de bijbehorende regelmatige vijfhoek (en de omgeschreven cirkel)? En andersom, hoe construeer je in een cirkel net een gegeven straal een regelmatige vijfhoek met de hoekpunten op de cirkel? De gulden snede komt ook mooi naar voren als limiet van delingen van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci. Je kunt dit ook mooi in beeld brengen met een rij groeiende vierkanten waarvan de verhouding lengte :
breedte ook als limiet de gulden snede heeft: 2/1 , 3/2 , 5/3 , 8/5 , … naderend naar 1,618 .

Dit zie je als volgt:
\( F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\); delen door \( F_{n-1} \) geeft \( \frac{F_n}{F_{n-1}} = 1 +\frac{F_{n-2}}{F_{n-1}} \) , met \( \phi_n = \frac{F_n}{F_{n-1}}\)  krijg je \[\phi_n = 1+ \frac{1}{\phi_{n-1}} \].
Voor de limiet \( L \)  geldt dus \( L=1+\frac{1}{L} \) , ofwel \( L^2 = L+1\), dezelfde vergelijking als eerder voor \(  \phi \) is genoemd. Dus \( L = \phi \).

Er is ook een leuke manier om in je les de gulden snede te laten berekenen. Onlangs deed ik dit met de studenten in de gastles die ik op de Hogeschool van Amsterdam gaf.

Laat leerlingen twee pasjes dwars tegen elkaar leggen. Teken de omtrek en maak de hoeken van de pasjes recht. Op een diagonaal van de omhullende rechthoek
liggen drie hoekpunten. Daaruit volgt dat er twee gelijkvormige driehoeken zijn. Noem de korte zijde van een pasje 1, dan geldt, met de lange zijde  \( L \) : \[  \frac{L}{1}=\frac{L+1}{L} \] ,
Dit geeft \( L^2 =  L + 1 \). Dus de verhouding van de zijden van een pinpas is de gulden snede.

In een volgende blog schrijf ik over de andere twee zebraboekjes.

Volgende blog: Wiskunde bij de les 2 – Origami
Index: Alle Wiskunde bij de les